Mersenne Primes:历史,定理和名单

内容:

  1. 早期历史
  2. 完全数和几个定理
  3. 已知梅森质数表
  4. 卢卡斯-莱默测验和近代史
  5. 猜想和未解决的问题
  6. 也可以看看下一个较大的mersenne素数在哪里?Mersenne启发定

1.早期历史

许多早期作家都觉得表格2的数量N-1是素质的全部素瓜N但是,在1536年,Hudalricus Regius表明了211-1 = 2047不是素数(它是2389)。到1603年Pietro Cataldi.已正确验证了217-1和219-1都是质数,但错误地写成了2N-1也是23,29,31和37的素质。1640年费玛表明加泰达尔错了23和37;然后欧莱尔在1738年显示,目录也是错误的29。一段时间后欧拉显示Cataldi的断言约31是正确的。

输入法国僧侣马林梅森素数(1588-1648)。Mersenne在他的序言中陈述Cogitata Physica-Mathematica(1644)认为数字2N-1是素质的

N= 2、3、5、7、13、17、1931,67,127和257

并且是其他所有正整数的合数N< 257年。梅森的(错误的)猜想只比雷吉斯的稍微好一点,但仍然把他的名字和这些数字联系在一起。

定义:当2N-1是普遍据说是一个Mersenne Prime.

对于Mersenne的同行来说,他无法测试所有这些数字(其实他尽可能多地承认),但他们也无法测试它们。在1750年之前,直到100多年来,欧拉尔核实了Mersenne和Regius的下一个数字,231-1,是素数。经过1876年,卢卡斯验证2127-1也是素数。七年后Pervouchine显示出261-1是素数,所以Mersenne错过了这一点。在1900年代初的权力中表明,Mersenne也错过了素数289.-1和2107-1。最后,到了1947年的Mersenne系列,N<第258号,经彻底检查,确定正确的清单为:

N= 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107和127。

看看已知的mersenne表素质以下。

2.完美的数字和一些定理

许多古代文化都关注了一个数字与其除数的关系,往往提供神秘的解释。在这里,我们仅关注一种这种关系:

定义:一个正整数N被称为A.完美的数字如果它等于其所有正除法的总和,请不包括N本身。

例如,6是第一个完全数,因为6=1+2+3。下一个是28=1+2+4+7+14。接下来的两个是496和8128。这四种人都是在基督以前就知道的。看看以下部分因子形式的这些数字:

23,47,1631,64127。

你是否注意到它们都有相同的表格2N-1(2N-1)(对于N= 2, 3, 5,和7)?每一种情况都是2N-1是梅森撇?事实上,下面的定理很容易证明:

定理一: K.如果且仅当它具有2表格2,这是一个偶然的数字N-1(2N-1)和2N-1是素数。[证明。]
定理二:如果2N-1是素数,那么也是如此N。[证明。]

因此,搜索Mersennes也是搜索甚至完美的数字!

你可能还注意到,上面列出的完全数(6,28,496,8128)都以数字6或8结尾——这也很容易证明(不,它们不会继续交替出现6,8,6,8,…)。如果你喜欢这种数字模式,看看二进制的前四个完全数:

110
11100.
111110000
1111111000000

(二进制数字模式是定理一的结果。)它是不知道是否存在奇怪的数字,但如果有一个很大!这可能是所有数学中最古老的未解决问题。

检查查看MerseNne号码是否是素数时,我们通常先查找任何小型。在这方面,欧拉和费玛的以下定理非常有用。

定理三:P.问:是奇怪的素数。如果问:把米P.= 2P.-1,那么问:= +/- 1(mod 8)和问:= 2kp.+ 1

对于一些整数K.[证明]。最后,我们提供以下资料供您阅读:

定理四:P.= 3 (mod 4)是质数。2P.+1也是素质,如果只有2P.M + 1分P.。[证明]。
定理五:如果将任何均匀的数字(6)的数字总和,则总结结果编号的数字,并重复此过程,直到您获得一个数字,该数字将是一个。[证明)

3.已知梅森质数表

让米(P.) = 2P.-1和p(P.) = 2P.-1(2P.-1)。所有已知素质的列表P.有哪个m(P.)为梅森撇(因此P(P.)是一个完全数)如下:

## P.
(指数)
数字
在M.P.
数字
在P.P.
发现者 笔记
1 2 1 1 ---- ----
2 3. 1 2 ---- ----
3. 5. 2 3. ---- ----
4. 7. 3. 4. ---- ----
5. 13 4. 8. 1456. 匿名的
6. 17 6. 10 1588 Cataldi.
7. 19 6. 12 1588 Cataldi.
8. 31 10 19 1772年 欧莱尔
9. 61 19 37 1883年 pervushin.
10 89. 27 54 1911 权力
11 107 33 65 1914 权力 笔记
12 127 39 77. 1876年 卢卡斯
13 521. 157 314. 1952 罗宾逊
14 607. 183. 366 1952 罗宾逊
15 1279. 386 770. 1952 罗宾逊
16 2203. 664. 1327. 1952 罗宾逊
17 2281 687. 1373 1952 罗宾逊
18 3217. 969. 1937 1957 莱斯梅尔
19 4253 1281. 2561 1961年 赫维茨
20. 4423 1332 2663 1961年 赫维茨
21 9689 2917 5834 1963年 吉利斯
22 9941 2993 5985 1963年 吉利斯
23 11213. 3376. 6751. 1963年 吉利斯
24 19937年 6002 12003 1971. 塔克曼 [tuckerman71]
25 21701. 6533 13066 1978年 &镍 [NN80.]
26 23209. 6987 13973 1979年
27 44497 13395 26790 1979年 尼尔森&Slowinski [Slocinski79.]
28 86243. 25962 51924 1982年 Slowinski [ewing83]
29 110503 33265 66530. 1988年 Colquitt&Welsh. [CW91]
30. 132049. 39751 79502 1983年 Slowinski
31 216091 65050. 130100 1985年 Slowinski
32 756839. 227832 455663 1992年 Slocisski&等等。 网页
33 859433. 258716 517430. 1994年 Slocisski&gage
34 1257787 378632 757263 1996年 Slocisski&gage (网页)
35 1398269. 420921 841842 1996年 Armengaud狼人
等等。吉普斯
(网页)
36 2976221 895932 1791864 1997年 威盛,狼人,
等等。(GIMPS)
(网页)
37 3021377 909526 1819050 1998年 克拉克森,狼人,Kurowski
等等。(GIMPS,Primenet.
(网页)
38 6972593 2098960. 4197919 1999年 Hajratwala.,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
39 13466917. 4053946. 8107892 2001年 卡梅伦,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
40 20996011. 6320430. 12640858 2003年 谢福音,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
41 24036583
7235733.
14471465
2004年 Findley,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
42 25964951
7816230.
15632458
2005年 诺瓦克,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
43 30402457.
9152052
18304103
2005年 库珀布恩,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
44 32582657. 9808358 19616714 2006年 库珀,布恩,沃特曼,库罗斯基
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
45 37156667. 11185272 22370543 2008年 Elbenich,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
46 42643801 12837064 25674127 2009年 Strindmo,Woltman,Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
47 43112609 12978189 25956377 2008年 史密斯,狼人,kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
48吗? 57885161. 17425170 34850339. 2013年 库珀Woltman Kurowski
等等。(GIMPS,PrimeNet)
(网页)
49岁吗? 74207281. 22338618 44677235. 2016年 Cooper, Woltman (prime95), Kurowski & bloser (PrimeNet), GIMPS等。 (网页)
50? 77232917 23249425. 46498850. 2017年 PACE,Woltman(Prime95),Kurowski&Blosser(PrimeNet),Gimps等。 (网页)
51? 82589933 24862048 49724095. 2018年 Laroche,Woltman(Prime95),盛开(PrimeNet),Gimps等人。 (网页)

我们为最后一个Mersenne的初步提出了问号而不是一个号码,因为如果在检查和仔细检查之前,这些默认在这些中有其他Mersenne,则无法知道。看看GIMPS状态页面为更多的信息。并不是所有的小指数都经过了测试。

4. Lucas-Lehmer测试和最近的历史

Mersenne Primes(因此甚至完美的数字)使用以下定理找到:

Lucas-Lehmer测试:为了P.一个奇怪的素数,mersenne号码2P.-1是素质,如果只有2P.-1划分(P.1)年代(N+ 1) = (N2-2,和s(1)= 4. [证明)

(取决于,也可以从S(1)= 10和某些其他值开始P.。)在伪代码中,此测试是:

lucas_lehmer_test(p):s:= 4;因为我从3到p do s:= s2-2 mod 2.P.-1;如果s == 0那么2P.-1是素质2P.1是复合;

该测试的理论是发起的卢卡斯在1870年代后期,然后通过Lehmer大约1930年进行了这个简单的测试。序列S(N)计算Modulo 2P.-1以节省时间。该测试是二元计算机的理想选择,因为划分为2P.-1(在二进制中)可以使用旋转和加法完成。(看关于Pruitality的页面有关证明数字的更多信息是素数。)

1811年彼得巴洛写在他的文本的数字理论中230.(231-1)“是最伟大的[完美的数字]将被发现;因为他们只是好奇的,而不是有用的,任何人都不可能试图找到一个超出它的人。”我想知道他的第一次尝试爬上珠穆朗玛峰,运行速度更快,或者跳跃更长的跳跃 - 其他好奇但没有用的任务。显然,1800年代后期没有人对现代计算机的力量有所了解。我们从现在开始的50年的机器可能知道什么?(也可以看看“为什么要找大质数?”

U-illinois邮票“class=在第23个梅森质数在伊利诺伊大学被发现后,数学系感到非常自豪,他们的系主任贝特曼博士把他们的邮资计改成了“2”11213.-1是每个信封的素数。这是使用,直到1976年证明了四种颜色定理。(1985年Bateman博士打印了几篇副本的早期印记 - 左边的图像来自其中一个。)

由高中生劳拉镍和25次和第26届Mersenne素兰登Curt诺尔尽管他们对相关的数学知识知之甚少,但他们还是利用Lucas在当地大学的主机(CSUH的CDC 174)上进行的简单测试来找到接下来的两个质数。他们发现的第一颗prime登上了全国电视新闻和《纽约时报》的头版。他们在找到第一个质数后就分道扬镳了,但诺尔让程序继续运行以找到第二个质数——所以诺尔声称拥有完整的所有权。诺尔后来进行了搜索,虽然他从未找到过另一个梅森素数,但他是一个保持着最大非梅森素数记录的团队中的一员。他目前在Silicon Graphics工作。

Slowinski谁适用于Cray计算机,已经编写了卢卡斯测试的版本,即他已经让世界各地的许多Cray实验室都在业余时间(否则丢失的时间)。他不得不延迟他的一个主要记录,直到他开始开始寻找它。SlocInski的搜索记录素数“不是如此组织,就像你想象的那样”(他的话),因为他没有系统地搜索。事实上,看着Mersennes的桌子,你看到他错过了第29次素质,但发现了30和31日。Colquitt&Welsh努力填补空白,并找到了第29次。

输入乔治·沃尔德曼他是一名优秀的程序员和组织者。从1995年底开始,他收集了不同的数据库,并将它们合并为一个。然后他把这个数据库,和一个免费的,高度优化的搜索梅森尼斯的程序放到了网上。这个开始吉普斯(互联网梅森素数大搜索)现在已经发现了最大的梅森素数,扫描了之前的记录素数之间所有未被探索的区域,结合了几十个专家和数千个业余爱好者的努力,它提供了自由软件对于大多数计算机平台。

1997年末斯科特·克鲁沃基(和其他人)成立Primenet.自动化的范围和报告GIMPS的结果,现在几乎任何人都可以加入此搜索!

5.猜想和未解决的问题

有一个奇怪的数字吗?
我们知道所有均匀的数字都是Mersenne Prime次数的两个力量(上面的定理),但奇怪的完美数字呢?如果有一个,那么它是一个完美的平方时间,是单个素数的奇怪力量;它是可分割的至少八个素数,并且至少有75个主要因素(不一定是不同的[HARE2006.],[HARE2005],[IS2003])至少有9个不同的[Nielsen2006];它至少有300位十进制数字[BCR91.];它有一个大部分的10个20.[COHEN87.]。有关更多信息,请参阅[Ribenboim95.] 或者 [圭亚那]。
没有无限的mersenne primes?
同等地我们可以问:无数是非常完美的数字吗?答案是可能是的(因为谐波系列发散)。
无限的Mersenne复合材料吗?
欧拉显示:
定理: 如果K.> 1和P.= 4K.+3是质数,然后是2P.+1是素质,如果只有2P.= 1 (mod 2P.+1)。
因此,如果P.= 4K.+3和2P.+1是素数,然后是mersenne号码2P.-1是合数(这似乎是合理的猜想,有无限多这样的质数对P.,2P.+1)。
新的Mersenne猜想
Bateman,Selfridge和Wagstaff召开了[BSW89.] 以下。
P.是任何奇怪的自然数。如果以下两个条件保持,那么第三条件也是如此:
  1. P.= 2K.+/- 1或P.= 4K.+ / 3
  2. 2P.-1是素数(显然是Mersenne Prime)
  3. (2P.+1)/ 3是素数。
请注意,此猜想如何与先前猜想中的定理相关。查看我们的页面新的Mersenne猜想状态信息。
每个mersenne号码2P.-1平方免费?
这更属于一个悬而未决的问题(我们不知道答案),而不是一个猜想(我们认为是正确的)。圭亚那部分A3)。它是易于展示如果是素质的平方P.分成梅森河P.是一个Wieferich Prime.这些都很罕见!只有两个小于40,000,000,000,000,而且两个的平方都不能除以一个梅森。
让C.0.= 2,然后让c1= 2C0.-1,C.2= 2C1-1,C.3.= 2C2-1,......这些所有的素数吗?
根据迪克森的说法[迪克森加泰罗尼亚人在1876年回应了卢卡斯的声明127-1(C.4.)是素数。这些数字增长得非常快:
C0.= 2 (')
C1= 3 (')
C2= 7. (')
C3.= 127. (')
C4.= 170141183460469231731687303715884105727 (')
C5.> 10.51217599719369681875006054625051616349 (是C.5.主要的 ?)
这似乎很不可能5.(或很多更大的项)都是质数,这无疑是盖伊的另一个例子强烈的少数法律。请注意,如果该序列中甚至有一个综合术语,那么定理1以下所有术语都是复合材料。(兰登Curt诺尔告诉我他已经用了他的程序calc以验证C5.没有低于5 * 10的主要除数51。)
有更多的双人龄素吗?
另一个常见的早期误解是,如果N= M.P.是素数,那么也是N;让我们称这个数字mmP.(一个“双人民币”)。事实上,前四个这样的数量中的每一个都是素数:
毫米2= 23.-1 = 7,
毫米3.= 27.-1 = 127,
毫米5.= 231-1 = 2147483647,
毫米7.= 2127-1 = 170141183460469231731687303715884105727
但是,接下来的四个(mm13毫米17毫米19和mm31)都有已知的因素——复合因素也是如此。这个序列中还有其他质数吗?可能不会,但这仍然是一个悬而未决的问题。托尼·福布斯领导一个搜索下一个术语的项目: 毫米61,您可能希望加入和帮助!通知加泰罗尼亚的序列以上是这个的子序列。

从Primepages ©Chris Caldwell。