梅森素数:历史、定理和列表

内容:

  1. 早期历史
  2. 完美的数字和一些定理
  3. 已知的Mersenne素质表
  4. Lucas-Lehmer测试和最近的历史
  5. 猜想和未解决的问题
  6. 另请参阅下一个更大的梅森素数在哪里?梅森素数启发式

1.早期的历史

许多早期的作家认为数字的形式是2n-1是所有质数n但在1536年胡达里克斯·雷吉斯证明了211.-1 = 2047不是素数(它是2389)。到1603年Pietro Cataldi.已正确验证了217.1和219.-1都是素数,但后来陈述了2n-1也是23 29 31 37的质数。1640年费马表明卡特迪在23和37的问题上是错的;然后欧莱尔1738年的研究表明,卡特迪关于29的说法也是错的。一段时间之后欧拉证明了卡特迪关于31的断言是正确的。

进入法国修道士Marin Mersenne.(1588 - 1648)。梅森在他的序言中说Cogitata Physica-Mathematica(1644)数字2n-1是

n= 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127和257

并且是所有其他正整数的复合材料n<257. Mersenne的(不正确)猜想只比regius略好,但仍然拿到这些数字的名字。

定义:当2n-1是普遍据说是一个Mersenne Prime.

对于Mersenne的同行来说,他无法测试所有这些数字(其实他尽可能多地承认),但他们也无法测试它们。在1750年之前,直到100多年来,欧拉尔核实了Mersenne和Regius的下一个数字,231.-1,是素数。经过1876年,卢卡斯验证2127.-1也是素数。七年后Pervouchine显示出261.-1是质数,所以梅森漏掉了这个。20世纪初,鲍尔斯的研究表明梅森也漏掉了质数289.1和2107.-1。最后,到了1947年的Mersenne系列,n<258,已完全检查,并确定正确的列表是:

n= 2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107和127。

看看已知的mersenne表素质以下。

2.完美的数字和一些定理

许多古代文化都关注数字与其除数之和的关系,经常给出神秘的解释。这里我们只关心一种这样的关系:

定义:积极的整数n被称为A.完全数如果它等于它所有正因子的和,除去n本身。

例如,6是第一个完美的数字,因为6 = 1 + 2 + 3。接下来是28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。接下来的两个是496和8128.这四个都在基督的时候都知道。以以下部分因素形式查看这些数字:

23、47日1631,64127.

你注意到它们都有相同的形式2吗n1(2n1) (n分别= 2,3,5和7)?并且在每种情况下2n-1是一个mersenne素数吗?事实上,很容易显示以下定理:

定理一: k偶数完全数是否当且仅当它有2的形式n1(2n1)和2n1是质数。(证明。]
定理二:如果是2.n-1是素数,那么也是如此n。(证明。]

因此,搜索Mersennes也是搜索甚至完美的数字!

您也可能注意到上面列出的完美数字(6,28,496,8128)所有以数字6或数字8结束 - 这也很容易证明(但不,它们不继续交替6,8,6,8,......)。如果您喜欢该数字模式,请查看二进制文件中的前四个完美数字:

110.
11100
111110000
1111111000000

(二进制数字图案是定理的结果。)它是未知无论是否存在一个奇数完全数,但如果有一个,它是大的!这可能是所有数学中最古老的未解问题了。

检查查看MerseNne号码是否是素数时,我们通常先查找任何小型。在这方面,欧拉和费玛的以下定理非常有用。

定理三:p是奇怪的质数。如果划分M.p= 2p-1,那么= +/- 1(mod 8)和= 2kp+ 1

对于一些整数k(证明]。最后,我们为您提供以下内容:

定理4:p= 3(mod 4)是素数。2p+1也是素质,如果只有2p+1划分M.p。(证明]。
定理5:如果你对任意偶数(除了6)的数字求和,然后对结果数的数字求和,重复这个过程,直到你得到一个数字,这个数字就是1。(证明。]

3.已知的Mersenne Primes表

让m(p)= 2p1, P (p)= 2p1(2p1)。所有已知质数的列表p有哪个m(p)是Mersenne素数(因此P(p)是一个完美的数字)如下:

# # p
(指数)
数字
在米p
数字
在Pp
一年 发现者 笔记
1 2 1 1 ---- ----
2 3. 1 2 ---- ----
3. 5 2 3. ---- ----
4 7 3. 4 ---- ----
5 13. 4 8 1456 匿名的
6 17. 6 10. 1588 Cataldi.
7 19. 6 12. 1588 Cataldi.
8 31. 10. 19. 1772年 欧莱尔
9 61. 19. 37. 1883年 pervushin.
10. 89. 27. 54. 1911年 权力
11. 107. 33. 65. 1914年 权力 笔记
12. 127. 39. 77. 1876年 卢卡斯
13. 521 157. 314 1952年 罗宾逊
14. 607 183. 366. 1952年 罗宾逊
15. 1279 386. 770 1952年 罗宾逊
16. 2203 664 1327. 1952年 罗宾逊
17. 2281 687 1373 1952年 罗宾逊
18. 3217 969 1937年 1957年 Riesel
19. 4253 1281 2561 1961年 赫尔维茨
20. 4423 1332 2663 1961年 赫尔维茨
21. 9689 2917. 5834 1963年 Gillies
22. 9941 2993 5985 1963年 Gillies
23. 11213 3376 6751 1963年 Gillies
24. 19937年 6002 12003 1971. Tuckerman (tuckerman71]
25. 21701. 6533 13066 1978年 &镍 (NN80]
26. 23209 6987 13973 1979年
27. 44497 13395 26790 1979年 纳尔逊&Sloctinski. (Slowinski79]
28. 86243 25962 51924 1982年 Sloctinski. (ewing83]
29. 110503 33265 66530 1988年 Colquitt&Welsh. (CW91.]
30. 132049 39751 79502 1983年 Sloctinski.
31. 216091. 65050 130100 1985年 Sloctinski.
32. 756839 227832 455663 1992年 Slowinski &et al。 (网页)
33. 859433 258716 517430. 1994年 Slocisski&gage
34. 1257787 378632 757263 1996年 Slocisski&gage (网页)
35. 1398269 420921 841842 1996年 armengaud.,狼人,
et al。(吉普斯)
(网页)
36. 2976221 895932 1791864 1997年 斯宾塞,狼人,
et al。(gimp)
(网页)
37. 3021377. 909526. 1819050 1998年 克拉克森,狼人,kurowski.
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
38. 6972593 2098960. 4197919. 1999年 Hajratwala.,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
39. 13466917 4053946. 8107892. 2001 卡梅隆,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
40 20996011 6320430. 12640858. 2003 沙佛,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
41. 24036583
7235733
14471465
2004 Findley.,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
42. 25964951
7816230
15632458
2005 诺瓦克,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
43. 30402457
9152052
18304103
2005 库珀,布恩,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
44. 32582657 9808358 19616714 2006 Cooper,Boone,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
45. 37156667 11185272 22370543 2008 Elbenich,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
46. 42643801 12837064 25674127 2009 Strindmo,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
47. 43112609 12978189. 25956377 2008 史密斯,狼人,kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
48? 57885161. 17425170 34850339. 2013 Cooper,Woltman,Kurowski
et al。(gimp,PrimeNet)
(网页)
49? 74207281. 22338618 44677235 2016 Cooper,Woltman(Prime95),Kurowski&Blosser(PrimeNet),Gimps等。 (网页)
50 ? 77232917 23249425 46498850 2017 Pace, Woltman (prime95), Kurowski & bloser (PrimeNet), GIMPS等。 (网页)
51吗? 82589933. 24862048 49724095. 2018 Laroche,Woltman(Prime95),盛开(PrimeNet),Gimps等人。 (网页)

我们为最后一个Mersenne的初步提出了问号而不是一个号码,因为如果在检查和仔细检查之前,这些默认在这些中有其他Mersenne,则无法知道。看看gimp状态页想要查询更多的信息。并非所有较小的指数都已过测试。

4. Lucas-Lehmer测试和最近的历史

梅森素数(因此甚至完美的数字)使用以下定理找到:

Lucas-Lehmer测试:p一个奇素数,梅森数2p-1是素质,如果只有2p1分(p-1)其中s(n+1)= s(n)2S(1) = 4。(证明。]

(也可以从S(1)=10和某些其他值开始,取决于p。)在伪代码中,此测试是:

Lucas_Lehmer_Test(p): s:= 4;对于I从3到p做s:= s22模2p1;如果s == 0,那么2p-1是质数else 2p-1是复合材料;

这个试验的理论是由卢卡斯在1870年代后期,然后通过Lehmer大约1930年进行了这个简单的测试。序列S(n)以2为模计算p-1节省时间。这个测试对二进制计算机很理想,因为它被2除法p-1(二进制)只能使用旋转和加法来完成。(见关于Pruitality的页面更多关于证明数字是质数的信息。)

1811年彼得·巴洛写在他的文本的数字理论中230.(231.-1)“是最伟大的[完美的数字]将被发现;因为他们只是好奇的,而不是有用的,任何人都不可能试图找到一个超出它的人。”我想知道他的第一次尝试爬上珠穆朗玛峰,运行速度更快,或者跳跃更长的跳跃 - 其他好奇但没有用的任务。显然,1800年代后期没有人对现代计算机的力量有所了解。我们从现在开始的50年的机器可能知道什么?(也可以看看“为什么找到大素数?”)

U-Illinois邮票”class=在伊利诺伊大学发现23岁的Mersenne Prime之后,数学系很自豪地为他们的部门主席Bateman博士,他们的邮资仪表变为邮票“211213-1是每个信封的素数。这是使用,直到1976年证明了四种颜色定理。(1985年Bateman博士打印了几篇副本的早期印记 - 左边的图像来自其中一个。)

由高中生劳拉镍和25次和第26届Mersenne素Landon Curt Noll.,虽然他们对所涉及的数学知识很少了解,但在当地大学的大型机(CSUH的CDC 174)上使用了卢卡斯的简单测试,找到了接下来的两个素数。他们发现了第一个素质的国家电视新闻和纽约时报的首页。他们在找到第一个素质后他们的单独方式走了,但是NOLL让程序运行以找到第二个 - 所以索尔要求完全所有权。罗马在以后搜索,虽然他从未找到过另一个Mersenne Prime,但他是一个持有最大的非Mersenne素数的团队之一。他目前适用于Silicon Graphics。

Sloctinski.谁适用于Cray计算机,已经编写了卢卡斯测试的版本,即他已经让世界各地的许多Cray实验室都在业余时间(否则丢失的时间)。他不得不延迟他的一个主要记录,直到他开始开始寻找它。SlocInski的搜索记录素数“不是如此组织,就像你想象的那样”(他的话),因为他没有系统地搜索。事实上,看着Mersennes的桌子,你看到他错过了第29次素质,但发现了30和31日。Colquitt&Welsh努力填补空白,并找到了第29次。

进入乔治·沃尔德曼,一个优秀的程序员和组织者。从1995年底开始,他收集了不同的数据库并将它们组合成一个。然后他放置了这个数据库,一个免费的高度优化的程序,以便在网上搜索Mersennes。这开始了吉普斯(伟大的互联网Mersenne Prime Search):现在发现了最大的已知Mersennes,已经扫描了以前的纪录素质之间未探索的所有区域,结合了数十名专家和数千名业余的努力,并提供了哪些优惠自由软件对于大多数计算机平台。

1997年末斯科特·克鲁沃基(和其他人)成立PrimeNet为了自动选择GIMPS的范围和报告结果,现在几乎任何人都可以加入这个搜索!

5.猜想和未解决的问题

有奇数完全数吗?
我们知道所有均匀的数字都是Mersenne Prime次数的两个力量(上面定理),但奇数的完全数呢?如果有,那么它是一个完全平方乘以一个质数的奇数次幂;它至少能被8个质数整除,至少有75个质数因子(不一定是不同的[Hare2006],[Hare2005],[是2003.])至少有9个不同的[nielsen2006.];至少有300位十进制数字[BCR91];它有一个大于10的质因数20.(COHEN87.]。欲知详情,请参阅[Ribenboim95] 或者 [Guy94]。
没有无限的mersenne primes?
同样地,我们可以问:有无限个偶数吗?答案是大概是的(因为谐波系列发散)。
有无限多的梅森合成物吗?
欧拉显示:
定理: 如果k> 1和p= 4k+3是素数,然后2p+1是质数当且仅当2p= 1(mod 2p+ 1)。
因此,如果p= 4k+3和2p+1是素数,然后是mersenne号码2p-1是复合物(据猜测似乎有无限的许多素数对p, 2p+ 1)。
新的Mersenne猜想:
Bateman,Selfridge和Wagstaff召开了[BSW89)以下。
p是任何奇数自然数。如果下面两个条件都成立,那么第三个条件也成立:
  1. p= 2k+/- 1或p= 4k+/- 3.
  2. 2p-1是素数(显然是Mersenne Prime)
  3. (2p+1)/ 3是素数。
请注意,此猜想如何与先前猜想中的定理相关。查看我们的页面新的Mersenne猜想用于状态信息。
每个梅森人都是2号吗p1平方自由?
这在一个公开问题(我们不知道答案)的类别中,而不是猜想(我们猜这是真的)的范畴[Guy94第A3节]。这是易于展示如果一个素数的平方p然后划分mersennep是A.Wieferich Prime.这些都很罕见!只有两个人在4,000,000,000,000以下是众所周知的,并且这些被这些平方划分了Mersenne。
让C.0= 2,则令C1= 2C0-1,C.2= 2C1-1,C.3.= 2C21,…这些都是质数吗?
根据迪克森的说法[迪克森v1p22]加泰罗尼亚州于1876年回复卢卡斯陈述2127.-1(C.4)是这个序列的素数。这些数字很快成长:
C0= 2 (主要的)
C1= 3 (主要的)
C2= 7 (主要的)
C3.= 127 (主要的)
C4= 170141183460469231731687303715884105727 (主要的)
C5> 105121759971936968187500605468187500605468187500605462505006054625051616349 (是C5主要的 ?)
It seems very unlikely that……似乎不大可能5(或许多较大的术语)将是素质的,所以这毫无疑问是男人的另一个例子强烈的少数法律。注意,如果在这个序列中有一个复合项,那么定理一体以下所有术语都是复合材料。(Landon Curt Noll.告诉我他已经使用了他的计划Calc.验证c5没有小于5*10的质数吗51.。)
还有更多的双梅森质数吗?
另一个常见的早期误解是,如果n= M.p是质数,那么M也是吗n;让我们称这个数字为MMp(“double-Mersenne”)。事实上,前四个数字都是质数:
毫米2= 23.-1 = 7,
毫米3.= 271 = 127,
毫米5= 231.1 = 2147483647,
毫米7= 2127.-1 = 170141183460469231731687303715884105727
然而,接下来的四个(MM13.毫米17.毫米19.和mm31.)所有已知的因素 - 所以是复合材料。这个序列是否有更多的素数?可能不是,但它仍然是一个开放的问题。托尼福布斯是领先的一个寻找下期因素的项目: 毫米61.,您可能希望加入和帮助!

注意到加泰罗尼亚序列以上是这个的子序列。

打印自PrimePages ©Chris Caldwell。