已知的最大素数:简史

最大的已知素质今天是24,862,048位数Mersenne.主要的282589933.-1在2018年12月发现,但历史上有多大的是“最大的已知素数”?从历史上看,如何找到这些素数?我们将简要讨论以下每个问题。

[向上]内容

  1. 在电子计算机
  2. 电子电脑的年龄
  3. 结语:没有更多的预测

[向上]第一部分:之前电子的电脑

关于法国和尚马林·梅森的第一猜想及其错误的信息,查看此链接

许多早期作家觉得(错误地)P.是素数,那么也是如此P.= 2P.1。这些数字,现在被称为Mersenne号码,是大部分早期搜索大型素数的焦点。这些数字的早期历史与许多严重的原始声明,甚至是Mersenne,Leibniz和Euler。所以我们向我们的第一个唱片持有人提供赞赏:

1588 Pietro Cataldi正确验证了217.-1 = 131071和219.-1 = 524287均为素数[Cataldi1603.]。

但是卡特迪也说错了2N23 29 31 37中的每一个都是质数-1。这很有趣,因为Cataldi的发现是通过构建Shanks所说的“第一个广延质数表——750以内”[shanks78,p14]。这些表格足以显示219.-1是素数(其平方根约为724)但是不是大到足以处理这四个更大的数字!

注意:一些作家(例如,[Picutti1989] 和 [BS96.包括质数8191=213.-1(在1458年之前,Codice Palatino 573)和131071 = 217.-1(1460,Codex OTTB。Lat 3307)在他们的记录列表中。但我们缺乏他们缺乏证据表明他们当时被证明是普遍的猜测,而不是幸运的猜测。

1640年,费姆表明如果P.是一个奇数的素数,然后是2的所有主要二数P.-1有表格2kp.+1。然后,他迅速显示了23(有因素47有因素K.= 1)和37(因子223K.= 3)。最后,在1738年,通过查找除数233,欧拉显示目录也是错误的293.这里,使用Fermat的结果,K.= 4。这只是用Fermat结果尝试的第二个数字K.= 2K.= 3屈服复合材料(所以我会猜测费玛也知道这个因素)。请注意,Cataldi自己的素质表中发现的小因素显示了Cataldi的错误,并且没有超过两种试验部门!

Euler通过证明Cataldi向我们提供第一个清晰的记录(除了日期之外)是正确的约31:

到1772年欧拉使用了聪明的推理和试验司来显示231.-1 = 2147483647是素数。

当Euler发给Goldbach的歌手时,实际日期必须在1752年10月28日之间[文本欧拉档案]说明他不确定这个号码(即使他早些时候将其列为Prime)和1772年文本]从欧拉发表给伯努利,说他证明了231.-1通过显示2的所有主要二级的素数31.-1必须有两个表格中的一个248N+1和248.N+63,然后除以小于46339的所有此类素数[迪克森19.,pp18-19]。这需要一个简单的定理哪个比上面的Fermat的结果强。(欧拉已列出231.-1 00年初为1732年,但他和2一样41.-1和247.-1两者都是复合材料[翻译]。)

注意:一些作家(例如,[BS96.,P309])包括“通过LOOFF”的PRIMES 9999999000001(1851)和他们的表中的67280421310721(1855年1月1日1855年1月1日)。第一个出现在一个带有问号的洛杉矶表中,但reuschle [Reuschle1856.,pp.3,18]索赔Looff已证明它是素数。Thomas Clausen提供了分解274177·67280421310721的264.+1在1855年1月1日给Gauss的一封信中,陈述这两个因素是素数[Biermann1964]。但它仍然是没有一种方法的索赔。

到1867年,兰德里发现了一个更大的素数,仍然是审判司,占2倍59.-1(即(259.-1)/ 179951 = 3203431780337),这一原稿持续了比任何其他更长的记录-mersenne会(在发现之前或之后)。然而,所有这些努力都是被一个新的数学发现被黯然失色,所以我们在现代计算机之前暂停了一下来总结所有记录的媒体(我知道的)。(从长远来看,它总是决定我们能找到的大量的数学。)

表1.电子计算机前的记录
数字 数字 箴言
方法
217.-1 6. 1588 Cataldi. 审判部门
219.-1 6. 1588 Cataldi. 审判部门
231.-1 10. 1772 欧莱尔 试验部++
(259.-1)/ 179951 13. 1867年 兰德里 试验部++
2127.-1 39. 1876年 卢卡斯 卢卡斯序列
(2148.+1)/ 17 44. 1951. Ferrier. 鬼的定理

到1876年,卢卡斯开发了一个聪明的测试,以确定Mersenne号码是否是素数。他的方法稍后Lehmer甚至更简单在20世纪30年代,仍然用于发现记录素数!

1876年,卢卡斯证明了2127.-1 = 170141183460469231731687303715884105727是素数。

“这仍然是最大的已知素数,直到1951年”[HW79.这个记录维持了75年,可能会作为发现的最大质数而永远保持下去通过手动计算

1951年,费里尔使用了一台机械台式计算器和基于费马小定理的部分逆的技术寻找和证明素数)通过查找44位数的Prime来稍微更好地恢复这一记录:

1951年,Ferrier发现了素数(2148.+1)/ 17 = 20988486574405864812642058602225938602225938615225938639222593863922259386392259386392259386392225938639219938639225938639222593863922593863921930586022259386392199386392219305860222593863922

通过此记录,我们结束了电子计算机前的时期,因为在同一年中,通过计算机设置了79位数字的新记录。

注:很难把费瑞厄的发现按时间顺序放在米勒&惠勒的作品中。我们遵循传统的顺序,把费瑞厄的放在第一位,但是我们有充分的理由怀疑这一点

有关更多信息,请参阅数字理论的历史由伦纳德迪克森[迪克森19.]。

[向上]第二部分:年龄电子电脑

1951年,米勒和惠勒通过找到几次素质开始电子计算年龄:

K. m127.+ 1 for.K.= 114,124,388,408,498,696,738,774,780,934和978

以及新的79位数记录:

180(M.127.2+1(这里是m127.= 2127.-1)[MW51.]。

今年使用SWAC(标准西式自动电脑),这场记录很快被Raphael Robinson的发现是五个新的Mersennes的发现。这是罗宾逊曾经写过的第一个计划,它第一次尝试过它!不仅如此,而且他的计划在那一天发现了两个新的纪录素质!他写 [罗宾逊54.]:

该计划于1月30日首次尝试了SWAC,并发现了两天的新素数[M521.,M.607.],6月25日发现了三个其他素数[m1279.[M2203.]和10月9日[m2281]。
[令人惊讶的日志(数字)与年份的线性图形]

有趣的是,在1949年帖文中有趣M. H.一个纽曼使用原型曼彻斯特电子计算机(具有1024位存储),首先尝试通过计算机找到Mersenne Primes。也许是因为艾伦图灵从1948年到1950年工作,并通过纽曼改进了该计划,第一次尝试通过(电子)计算机发现素数有时会归因于他(例如,[罗宾逊54.] 和 [Ribenboim95.,p93])。优秀艾伦图灵互联网剪贴簿有一台机器的照片。

我们将米勒、惠勒和罗宾逊的记录作为下图的第一个点——注意垂直刻度!

未来几年的进展与计算机速度的增加一样稳定。Riesel发现了M.3217.使用瑞典BESK机;赫维茨发现米4253和M.4423使用IBM 7090(见下一段);吉利斯用ILLIAC-2找到了M9689,M.9941和M.11213.。Tuckerman发现了M.19937使用IBM360。

令人惊讶的是赫尔维特知道了4423M.之前的秒4253(由于输出堆叠的方式)。John Selfridge要求“在人类之前需要观察机器结果,以便”发现“?”赫尔维茨回答说,“忘记了电脑是否知道,如果堆积出输出的计算机操作员看起来怎么办?”在下面的表格中,我决定在读输出时发现了素数,所以m4253永远不是最大的已知素数。

表2.电子计算机的记录
数字 数字 机器 箴言
180(M.127.2+1 79. 1951. edsac1. 米勒和惠勒
m521. 157. 1952年 Swac. 罗宾逊(1月30)
m607. 183. 1952年 Swac. 罗宾逊(1月30)
m1279. 386. 1952年 Swac. 罗宾逊(6月25日)
m2203. 664. 1952年 Swac. 罗宾逊(10月7日)
m2281 687. 1952年 Swac. 罗宾逊(10月9日)
m3217. 969. 1957年 伯克 莱斯梅尔
m4423 1,332 1961年 IBM7090. 赫尔维茨
m9689 2,917 1963年 illiv 2. 吉利斯
m9941 2,993 1963年 illiv 2. 吉利斯
m11213. 3376年 1963年 illiv 2. 吉利斯
m19937 6,002 1971. IBM360 / 91. 塔克曼
m21701. 6,533 1978年 CDC Cyber​​ 174.
m23209. 6,987 1979年 CDC Cyber​​ 174.
m44497 13,395 1979年 克雷1 纳尔逊Sloctinski.
m86243. 25,962 1982年 克雷1 Sloctinski.
m132049. 39,751. 1983年 CRAY X-MP Sloctinski.
m216091 65,050 1985年 克雷X-MP / 24 Sloctinski.
391581·2216193-1 65,087 1989年 Amdahl 1200. Amdahl六
m756839. 227,832 1992年 Cray-2 Sloctinski.等等。(笔记
m859433. 258,716. 1994年 CRAY C90. Slocisski&gage
m1257787 378,632 1996年 CRAY T94. Slocisski&gage
m1398269. 420,921 1996年 奔腾(90 MHz) armengaud.狼人等等。[吉普斯]
m2976221 895,932 1997年 奔腾(100 MHz) 威盛狼人等等。[吉普斯]
m3021377. 909,526. 1998年 奔腾(200 MHz) 克拉克森狼人kurowski.等等。[吉普斯Primenet.]
m6972593 2,098,960 1999年 奔腾(350 MHz) Hajratwala,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m13466917. 4,053,946 2001年 AMD T-Bird (800mhz) 卡梅伦,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m20996011. 6,320,430 2003年 奔腾(2 GHz) 谢福音,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m24036583 7,235,733. 2004年 奔腾4(2.4GHz) Findley.,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m25964951 7,816,230 2005年 奔腾4(2.4GHz) 诺瓦克,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m30402457. 9,152,052 2005年 奔腾4 (2GHz升级至3GHz) 库珀布恩,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m32582657. 9,808,358 2006年 奔腾4 (3ghz) Cooper,Boone,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m43112609. 12,978,189 2008年 英特尔核心2 Duo E6600 CPU(2.4 GHz) E_Smith,Woltman,Kurowski等。[Gimps,Primenet]
m57885161 17,425,170 2013年 英特尔Core2 Duo E8400(3 GHz) Cooper, Woltman, Kurowski等人[GIMPS, PrimeNet]
m74207281. 22,338,618 2016年 英特尔I7-4790 CPU. Cooper,Woltman,Kurowski,Blosser等。[Gimps,Primenet]
m77232917 23249425年 2018年 英特尔I5-6600 CPU. PACE,Woltman,Kurowski,Blosser等人。[Gimps,Primenet]
m82589933. 24,862,048 2018年 英特尔I5-4590T CPU. Laroche,Woltman,Blosser等人。[Gimps,Primenet]

好奇地是素数74207281.在人类注意到的机器月份被检测到 - 见新闻稿为了这个素质。

[日志(数字)的半线性图与年份]

所有的梅森档案都是用Lucas-Lehmer测试另外两个人使用鬼的定理(或类似的结果)。这Amdahl六j brownC NOLL.B Parady.G Smith.J Smith.年代Zarantonello

[向上]结婚:没有预测

什么时候会有一个10亿的质数?好问题!在GIMPS搜索的早期,我的预测是合理的,但最近事情已经轮到了(参见图表)使用简单回归和过去的历史缺乏预测的图表。我的最后预测是脱离了!

我已经走出了时间预测业务。所以我们将以线性图形和下面的免费立方体结束。有用的未来预测应不仅基于网页上发现的启发式信息下一个Mersenne在哪里?,但还应跟踪GIMP等项目的使用数据。它是当前的参与者,而不是过去,这将找到下一个素数。

图形
从Primepages ©Chris Caldwell。