黎曼假设

简介:

在研究质数分布时,黎曼推广了欧拉ζ函数(定义仅为年代实部大于1)
Zeta (s) = 1 + 2 -s + 3 -s + 4 -s…
到整个复杂的平面(简单的极年代= 1).黎曼注意到他的ζ函数在-2,-4,-6,…处有平凡零;所有非平凡零都是关于直线Re(年代) = 1/2;他计算过的少数人都在这条线上。黎曼假设是所有非平凡零都在这条线上。证明黎曼假设将使我们大大提高许多数字理论的结果。例如,冯·科赫在1901年证明了黎曼假设等价于:
[pnt +错误术语]

但这不会让因式分解变得更简单!有一些标准的方法可以推广黎曼假设。

1.黎曼假设:

欧拉研究了求和


Zeta (s) = 1 + 2 -s + 3 -s + 4 -s…
为整数年代> 1(很明显ζ(1)是无限的)。欧拉发现了一个公式ζ(2k)到伯努利数,得到的结果如下泽塔(2)=π^ 2/6泽塔(4)=π^ 4/90。但这和质数有什么关系呢?答案就在下面的质数乘积中p(也是由欧拉发现的):

(欧拉刺激)
欧拉把它写成

(欧拉刺激)
黎曼后来扩展了的定义ζ(年代)到所有复数年代(除了在年代=1,剩下1)。欧拉积仍然成立,如果年代大于1。Riemann导出了Riemann zeta函数的函数方程:

(功能情商)
其中函数γ(年代)是众所周知的阶乘函数(γ(n+ 1) =n!为非负整数n):

(defγ)
(这里的积分形式成立,如果实部年代大于1,所有复数的乘积形式都成立吗年代。)

黎曼函数有微不足道的零在- 2,4,-6,…(波兰γ(年代/ 2))。使用欧拉积(与函数方程),很容易表明所有其他零都在关键地带非实数的复数<再保险公司(年代)<它们是对称的关键线路再保险公司(年代) = 1/2。的未经证实的黎曼假设所有的非平凡0都在临界线上。

1986年,人们证明了黎曼ζ函数的前1,500,000,001个非平凡零确实具有实部1 / 2 [<一个href="//www.sdsmachining.com/references/refs.cgi/VTW86">VTW86]。Hardy在1915年证明了在临界线上确实出现了无数个零,而在1989年Conrey证明了临界带中超过40%的零都在临界线上[<一个href="//www.sdsmachining.com/references/refs.cgi/Conrey89">Conrey89]。然而,黎曼假设仍然有可能是错误的。从2001年8月到2005年8月,塞巴斯蒂安·韦德尼夫斯基(Sebastian Wedeniwski)执掌ZetaGrid公司,该公司证实了前1000亿个零处于临界线上。

2.谁在乎呢?

1900年,希尔伯特把证明或否定这个假设列为现代数学面临的最重要的尚未解决的问题之一,这对理解质数的总体分布至关重要。当阿达玛和德·拉瓦莱·普桑证明<一个href="//www.sdsmachining.com/howmany.html">素数定理,他们实际上展示了

(x) = Li(x) + O(x*e^(-a* logx))

对于某个正常数一个,他们的方法是将临界条带上0的实部与0和1的距离定界。误差项直接依赖于已知的临界带内的无零区域。随着我们对区域大小的了解的增加,误差项减小。事实上,1901年冯·科赫证明了黎曼假设等价于

(x) = Li(x) + O(x^(1/2) logx)

有很多这样的结果,例如[<一个href="//www.sdsmachining.com/references/refs.cgi/BS96">BS96]。

RH的概括

再回想一下欧拉的起点:

Zeta (s) = 1 + 2 -s + 3 -s + 4 -s…

为什么分子都是1 ?改变级数的一个重要方法是用函数χ(n)称为狄利克雷字符(这些字符可以被视为存在一个正整数的函数k用χ(n+k) =χ(n)为所有n,与χ(n) = 0n,k所得到的无穷和L(?,s)是一个狄利克雷L函数。我们再一次解析地把函数延续到1它在整个复平面上是亚纯的。的扩展黎曼假设是不是对于每一个Dirichlet字符χ和0 L(χ,s) = 0和0<再保险公司(年代)<1,实部是1/2。这些l函数的零分布与等差数列中素数的个数密切相关k。应该证明扩展黎曼假设吗<一个href="//www.sdsmachining.com/prove/prove2_3.html">米勒的测试可以为一般数提供一个有效的素数证明。看,例如,[<一个href="//www.sdsmachining.com/references/refs.cgi/BS96">BS968.5 6]。

推广欧拉和的另一种方法是离开有理数域,在有理数的有限域扩展中用非零理想(特殊元素集)的范数代替分母K(称为数字字段)。得到的和是的狄德金ζ函数K我们可以继续分析。这些函数在0处也有一个简单极点,在临界区有无数个0。的广义黎曼假设临界区域的0都是实部为1/2。看,例如,[<一个href="//www.sdsmachining.com/references/refs.cgi/BS96">BS968.7]。

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